Правильная фигура геометрия

Правильная фигура геометрия

Вообще правильность фигуры понимается как равенство ее однородных элементов. Поэтому правильными называют такие многоугольники, у которых соответственно равны друг другу все стороны и все углы (рис. 12.1). Далее, правильным называют такой многогранный угол, у которого все грани равны друг другу, углы и все двугранные углы между гранями также равны (рис. 12.2). Если центр сферы S поместить в вершине правильного многогранного угла V, то сфера пересечет этот угол по правильному сферическому многоугольнику (рис. 12.3). Кроме того, мы знакомы с правильными пирамидами и правильными призмами.

Обратимся к правильным многогранникам.

Поскольку правильность фигуры — это равенство ее однородных элементов, то естественно назвать многогранник правильным, если равны друг другу все его ребра, все углы его граней и все двугранные углы между соседними гранями (рис. 12.4). Равенство всех ребер правильного многогранника ведет к равенству сторон в каждой его грани. Равенство же углов в гранях позволяет сделать вывод о том, что каждая грань правильного многогранника является правильным многоугольником и что все эти грани равны друг другу.

Чаще всего правильный многогранник и определяют как многогранник, у которого все грани — это равные друг другу правильные многоугольники, а также равны друг другу углы между соседними гранями.

Существует всего пять правильных многогранников (рис. 12.5). Построением этих многогранников Евклид заканчивал свои «Начала». Вот последняя фраза этого сочинения: «Итак, кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другой телесной фигуры, заключенной между равносторонними и равноугольными фигурами, что и требовалось доказать».

В Древней Греции пяти правильным многогранникам придавали особый мистический смысл, называли их Платоновыми телами. Согласно Платону, атомы четырех основных элементов, из которых строится мир, имеют форму правильных многогранников. Огню соответствует тетраэдр, земле — куб, воздуху — октаэдр, воде — икосаэдр. А вся Вселенная, согласно Платону, имеет вид додекаэдра

Как пошутил значительно позднее один английский ученый: «Евклид вовсе и не собирался выпускать систематический учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось изложить все необходимые сведения».

Правильная фигура геометрия

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигуры. Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название «многогранники». Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

  1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
  2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
  3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

  1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела).
  2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

  1. Параллелепипед — образуется, если в основании лежит параллелограмм — многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
  2. Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
  3. Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
  4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

  • Конгруэнтные основания.
  • Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
  • Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

  1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
  2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.
  • В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
  • Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

  1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
  2. Все грани – конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
  3. Все межгранные углы равны 90.
  4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
  5. Куб имеет 9 осей симметрии, которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр – это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

  1. Все грани тетраэда – это равносторонние треугольники, из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
  2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
  3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
  4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

  1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
  2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр – фигура из 12 многоугольников.

  1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
  2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
  3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

  1. Все грани икосаэдра — равнобедренные треугольники.
  2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
  3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

  1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 — шестиугольной.
  2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Представители необъёмных видов геометрических тел – звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Правильные фигуры в геометрии Учитель математики Беленкова Ольга Александровна

Правильные фигуры в геометрии Учитель математики Беленкова Ольга Александровна. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемГлеб Карамышев

Презентация на тему: » Правильные фигуры в геометрии Учитель математики Беленкова Ольга Александровна.» — Транскрипт:

1 Правильные фигуры в геометрии Учитель математики Беленкова Ольга Александровна

2 Правильные многоугольники Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

3 Свойства правильного многоугольника: Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Периметры правильных n- угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

4 Виды правильных многоугольников.

5 Правильные многогранники «Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

6 Многогранник- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

7 Существует 5 видов правильных многогранников: 1)тетраэдр 2) гексаэдр 3) додекаэдр 4)октаэдр 5)икосаэдр Существует 5 видов правильных многогранников: 1)тетраэдр 2) гексаэдр 3) додекаэдр 4)октаэдр 5)икосаэдр

8 Тетраэдр Свойства: Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.параллелепипед Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины. Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

10 Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) Правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

11 Октаэдр (от греческого octo – восемь и hedra – грань) Правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4 треугольника,таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240°.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.

Источники:
Правильная фигура геометрия
Научная библиотека популярных научных изданий
http://stu.alnam.ru/book_ster-78
Правильная фигура геометрия
Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.
http://fb.ru/article/297027/mnogogranniki-vidyi-mnogogrannikov-i-ih-svoystva
Правильные фигуры в геометрии Учитель математики Беленкова Ольга Александровна
Свойства правильного многоугольника: Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Периметры правильных n- угольников относятся как радиусы описанных окружностей.
http://www.myshared.ru/slide/782482/

COMMENTS