Все о пирамиде

Все о пирамиде

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

ABCD – основание пирамиды.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

Пирамида называется правильной, если:

  • ее основание – правильный многоугольник;
  • отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается hа.

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано: РАВСD – правильная четырехугольная пирамида,

2. ?АВР = ?ВCР =?СDР =?DAP См. Рис. 4.

РО – высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямым АО, ВО, СО и , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD – прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD. Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО – общий и катеты АО, ВО, СО и равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Значит, треугольники АВР и ВCР – равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.

Доказать: . См. Рис. 5.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то (м).

Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.

РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

(м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,

R = м,

Найти: . См. Рис. 7.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

м.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

м.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где hа – апофема пирамиды. Тогда:

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

  1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
  2. Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
  3. Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
  4. РАВС – правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Правильная пирамида

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды — это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

  • боковые ребра равны между собой
  • апофемы равны
  • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
  • все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно ?/n, где n — количество сторон многоугольника основания
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
  • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
  • все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

V — объем пирамиды

S — площадь основания

h — высота пирамиды

Sb — площадь боковой поверхности

a — апофема (не путать с α)

P — периметр основания

n — число сторон основания

b — длина бокового ребра

? — плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V — объем правильной пирамиды

h — высота правильной пирамиды

n — число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды

a — длина стороны правильного многоугольника

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

  • Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
  • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

  1. Ознакомьтесь со справочными материалами
  2. Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
  3. После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решениезадач про правильную пирамидус треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
  4. Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме "раздел для школьников" в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.

Источники:
Все о пирамиде
Смотреть видео урока по геометрии 10 класс о пирамиде, правильной пирамиде
http://interneturok.ru/geometry/10-klass/mnogogranniki/piramida-pravilnaya-piramida
Правильная пирамида
Правильная пирамида. Определение и свойства, формулы нахождения объема и площади боковой поверхности правильной пирамиды
http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter148/

COMMENTS