Высота пирамиды формула

Высота пирамиды

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение «высота пирамиды» очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.

Каждая пирамида состоит из следующих элементов:

  • боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
  • апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
  • вершина пирамиды – это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
  • основание – это многоугольник, на котором не лежит вершина;
  • высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.

Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем

Через формулу объема пирамиды V = (S*h)/3 (в формуле V — объем, S – площадь основания, h — высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной пирамиде площадь основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.

Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра

Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют прямоугольный треугольник. Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а – гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b – первый катет или половина диагонали и с – соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² — b².

Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра – 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² — 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.

Как найти высоту усеченной пирамиды

Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды – это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания – d2, а ребро имеет длину – l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.

Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего – 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза – 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.

Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?

Высота правильной пирамиды равна длине ребра, перемноженную на корень из 2/3.

В данном случае следует воспользоваться следующей формулой

где a — длина стороны правильной треугольной пирамиды.

Кроме того, высоту можно высчитать обратным счётом от объёма благодаря данной формуле.

Предлагаю ознакомиться с решением задачи, где необходимо определить высоту, основываясь на известных показателях, а именно значения стороны и объёма.

Основание правильной пирамиды представляет собой правильный многоугольник. Так как мы имеем дело с треугольной пирамидой, то её основанием будет равносторонний треугольник.

Чтобы найти высоту пирамиды SO, достаточно вспомнить, что:

1) AO = BO = CO = R = av3 / 3. (св-во равностороннего треугольника).

2) SB = AB. (боковое ребро равно длине стороны основания).

По теореме Пифагора высота SO равна:

Итак, высота правильной треугольной пирамиды (H) равна произведению длины ребра (a) на корень из 2/3:

Высоту пирамиды также можно найти из формулы объёма:

V = 1 / 3 Sосн * H.

Так как основание пирамиды — это равносторонний треугольник, то Sосн = a? * v3 / 4.

Отсюда V = a? * v3 * H / 12 = a? * H / 4v3.

Остаётся выразить высоту:

Высота правильной треугольной пирамиды (H) равна дроби — в числителе произведение объёма пирамиды (V) на 4v3, в знаменателе — квадрат ребра (a).

Если же в условии задачи уже известна площадь основания, то высоту найти ещё проще:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, объём равен 10v3.

Нужно найти высоту пирамиды.

Воспользуемся вышеприведённой формулой:

H = V * (4v3 / a?) = 10v3 * 4v3 / 16 = 120 / 16 = 7,5 см.

Формула — h=аv2/3 (ребра пирамиды — это стороны равносторонних треугольников, а высотой получается будет длина ребра пирамиды, умноженная на корень из двух третей).

Формула объема: V = 1/3Sh, из нее выводим формулу для высоты: h=3V/S (V — объем, S — площадь основания, h — высота).

Если знаете объем пирамиды. Находим площадь основания, после чего умножаем объем на три и разделяем на площадь основания, в результате получаем высоту пирамиды.

У правильной треугольной пирамиды все грани равны. Чтобы узнать высоту такой пирамиды нужно воспользоваться специальной для этого формулой , в которой фигурируют высота ребра, которая обозначается "y" и v2/3.

Зная две эти величины мы можем по формуле высчитать высоту пирамиды, которая обозначается буквой "h".

Вот так выглядит эта формула: h=yv2/3

Не могу согласится с приведенными другими авторами формулами. Совершенно не понятно как находить высоту пирамиды используя только одну боковую грань. Неужели размер основания не имеет значения? Должно быть по меньшей мере две переменных. Покажу как решается эта задача на мой взгляд.

В основании у нас правильный треугольник и его центр находится на 2/3 расстояния от любой вершины по медиане (высоте, гипотенузе) (аксиома планиметрии). Следовательно по теореме Пифагора находим длину этой высоты и берем от нее 2/3. Вот рисунок:

На нем МС — искомый катет, ОС нужный нам отрезок. Теперь переходим непосредственно к высоте. Обзовем ее DO. Она опять таки будет являться катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — боковое ребро пирамиды, а второй катет уже найденный нами отрезок ОС. Опять применяем теорему Пифагора и находим высоту. Рисунок:

Единой формулы нахождения высоты такой пирамиды нет, хотя задача простая. Следует лишь знать длину стороны основания и длину бокового ребра.

Совет 1: Как определить высоту пирамиды

  • V = (S*h)/3, где S — это площадь многогранника, лежащего в основании пирамиды, h — высота данной пирамиды.

    В таком случае, h можно вычислить так:

    Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике по величине равен сумме квадратов его катетов(a? = b? + c?). Грань пирамиды — гипотенуза, один из катетов — половина диагонали квадрата. Тогда длина неизвестного катета (высоты) находится по формулам:

    Пример 1: Площадь основания пирамиды 46 см?, ее объем равен 120 см?. Исходя из этих данных, высота пирамиды находится так:

    h = 3*120/46 = 7.83 см

    Ответ: высота данной пирамиды составит, приблизительно, 7.83 см

    Пример 2: У пирамиды, в основании которого лежит правильный многоугольник — квадрат, его диагональ равна 14 см, длина ребра составляет 15 см. Согласно этим данным, чтобы найти высоту пирамиды, требуется воспользоваться следующей формулой (которая появилась как следствие из теоремы Пифагора):

    h? = 225 — 196 = 29

    Ответ: высота данной пирамиды составляет v29 см или, приблизительно, 5.4 см

    Источники:
    Высота пирамиды
    Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.
    http://fb.ru/article/106155/vyisota-piramidyi-kak-ee-nayti
    Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?
    Если основанием нашей пирамиды является любой треугольник, то такая пирамида называется треугольной. Если грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, то такая пирамида называется прав
    http://www.bolshoyvopros.ru/questions/360872-kak-najti-vysotu-pravilnoj-treugolnoj-piramidy.html
    Совет 1: Как определить высоту пирамиды
    👍 Под пирамидой подразумевается одна из разновидностей многогранников, в основании которого лежит многоугольник, а грани его — это треугольники,…
    http://www.kakprosto.ru/kak-60402-kak-opredelit-vysotu-piramidy

  • COMMENTS